ПРИРОДА МАТЕМАТИЧЕСКОГО У ПЛАТОНА

Главная » Философия » ПРИРОДА МАТЕМАТИЧЕСКОГО У ПЛАТОНА
Философия Комментариев нет

В теореме 7 части 2-й спинозовской «Этики» утверждается: «Порядок и связь идей те же, что порядок и связь вещей» [7, с. 293]. Там же приводится и доказательство: «Ибо идея всего, обусловленного какой-либо причиной, зависит от познания причины, след — ствие которой оно составляет» [7, с. 293]. Отвлечёмся, однако, от действительной “до — казательности” такого доказательства и попробуем понять то, насколько естественной представляется нам исходная идея. Хочется даже воскликнуть: «А что тут вообще дока — зывать? Это же очевидно!». И тем не менее, такая очевидность была бы попросту невоз — можна без «платоновского жеста» [2, с. 62], когда-то указавшего нам на целый мир того, что подлинно существует, – на мир эйдосов. Аристотелевская теория сущностей есть не что иное, как попытка избавить от противоречий ту самую теорию Идей, в соответствии с которой каждая земная вещь – всего лишь более или менее удачная копия или отраже — ние не подверженного никаким изменениям и существующего вне времени прообраза. Этот мир совершенных Форм невидим глазу, но доступен рассудочному умосозерцанию – то есть такому типу человеческой практики, которая во времена Платона и носила на-

звание математического по преимуществу: « Τ`α µαθη′µατα означает для греков то,

что при рассмотрении сущего и обращении с вещами человек знает заранее: у тел – их

© Егорычев И. Э., 2012.

телесность, у растений – растительность, у животных – животность, у человека – че- ловечность. К этому уже известному, т. е. математическому, относятся, наряду с вы — шеназванным, и числа… Только потому, что число, так сказать, ярче всего бросается в глаза как всегда-уже-известное, будучи са — мым знакомым из всего математического, математикой стали называть числовое. Но никоим образом существо математики не определяется числом» [8, с. 43]. То, что изу — чают геометры, и то, о чём они доказывают теоремы, – это, к примеру, идеи круга или треугольника. Но лишь поскольку наряду с идеями геометрическими существуют, так сказать, идеи физические – камня, ло — шади, человека и т. п., – знание о природе также оказывается возможным. И точно так же, как никакой реальный круг никог — да не достигнет совершенства умопостига — емого круга, никакая реальная лошадь не способна в совершенстве воплотить собой идею лошади, хоть все вещи и стремятся к этому. Таким образом, всё существующее и развивающееся в этом мире развивается, так или иначе соотнося себя с божествен — ным образцом, и является, тем самым, во- площением своей предзаданной сущности.

Отметим, что доставшаяся в наследство сэру Чарльзу Дарвину таксономия живо — го, состоятельности которой им было дано радикально новое обоснование, сама явля- ется прямым потомком, через Аристотеля, платоновского эссенциализма. Действи- тельно, она есть часть нашего философско — го наследия, и это вовсе не означает, что та — кое наследие – всего лишь бесполезная или необоснованная догма. Столь стремитель — ный взлёт современной науки, от Коперни — ка до Ньютона, – это во многом результат применения математических методов к реальному миру, то есть искусство восхож — дения от бессистемных и несущественных свойств предметов к усмотрению их скры — тых математических сущностей. В самом деле, закон всемирного тяготения одинако —

во применим к телам любой формы и лю — бого цвета – существенным здесь является только их масса. И точно так же дело об — стояло в химии, пришедшей на смену ал — химии одновременно с постулированием существования лишь конечного числа не — изменяющихся элементов, таких, как угле- род, водород, кислород и железо, которые со временем могут образовывать бесчис- ленные комбинации, но всегда могут быть обнаружены в любой из них именно благо- даря своим неизменяющимся сущностным свойствам. Да и сам Аристотель, пытаясь ответить на вопрос о том, что есть сущее, поскольку оно сущее, или что есть всякая вещь не в силу того, что она обладает теми или иными заранее предположенными свойствами, а в силу того, что она просто есть [1, с. 119], обращает внимание на то, в каких смыслах о сущем говорится, что оно есть. Для Аристотеля эти способы “сказы — вания” отнюдь не случайны и указывают на некие высшие роды бытия, т. е., опять — таки, на некоторые сущностные аспекты мира.

Итак, теория умозрительных (или ма — тематических) сущностей, порядок и связь которых те же, что порядок и связь ве — щей, представляется нам столь естествен — ной, потому что она блестяще себя за — рекомендовала и продолжает оставаться действенным инструментом познания во многих областях реальности. Но всякая ли классифицирующая схема может быть таким инструментом? Различаются ли на самом деле, так сказать, сущностно, хол — мы и горы, дома и дворцы или, к примеру, виолончель и скрипка? Философами-эм- пириками в своё время была разработана теория, призванная различать реальные и номинальные сущности – последние, явля — ясь лишь пустыми именами, или именами имён, “паразитируют” на словах, которые мы употребляем, и к реальной сущности вещи могут иметь отношение лишь случай — ным образом. В отличие от них, реальные

сущности открываются исследователю в результате тщательного изучения им при — роды вещей и только после внимательного отделения существенного от несуществен — ного в соответствии с особыми принципа — ми. И, несмотря на имевшие место затруд — нения с точным определением того, что же это за принципы, обнадёживающие успехи в физике и химии позволяли рассчитывать, что подобные принципы будут со време — нем обнаружены и в остальных областях реальности, в частности в науке о живых организмах – зоологии.

К моменту выхода в свет поистине ре — волюционного труда Дарвина [4] в этой на — уке скопилось достаточное количество за — гадочных фактов, которые с точки зрения эссенциализма никак не удавалось объ- яснить – то здесь, то там обнаруживались некие «промежуточные» существа, облада — ющие, если так можно выразиться, «более чем одной сущностью». Также иногда оста — валось не до конца понятным, какой объе — диняющий признак следует предпочесть на более высоких этажах классификации: чем, например, теплокровность предпочтитель — нее плотоядности, а наличие позвоночника

– наличия глаз? Всех ли ящериц следует от — носить к одному виду, или кого-то правиль — нее выделить в отдельный? Другими сло — вами, какой порядок (и связь) в точности воспроизводит тот, который был задуман природой? Находимые геологами останки вымерших живых существ, с одной сторо- ны, только прибавляли загадок, но, с дру — гой стороны, именно эти многочисленные геологические находки позволили Чарльзу Дарвину сформулировать его ключевую идею: в отличие, скажем, от треугольника, или от атома углерода, который, насколько мы можем судить, всегда имел то строение, которое он имеет сейчас, живые существа изменялись и продолжают меняться с тече — нием времени!

Эволюционная идея Дарвина, несмотря на то, что она находит всё больше и боль —

ше подтверждений в различных областях реальности, всё ещё остаётся трудной для восприятия даже для некоторых специали- стов. Слишком глубоко в нас укоренился эссенциалистский способ мышления, и, надо сказать, не без оснований. Матема — тика продолжает давать потрясающе пло — дотворные результаты, несмотря на то, что имеет дело с математическими объектами – вечными и неизменными сущностями в их максимально возможной чистоте. Вообще говоря, наука, которая, как известно, «науч — на ровно настолько, насколько много в ней математики», продолжает с успехом “вспа — рывать” природу по её естественным швам, и для этого, похоже, ей необходим тот или иной категориальный инструментарий, восходящий в итоге к чему-то вроде эссен — циализма: в этом сходятся как платониче — ская, так и аристотелевская точки зрения. Однако понятие мутации, применимое, как казалось вначале, лишь в некоторых отде — лах биологии, может быть довольно осно — вательно обобщено. В частности, идея при — мата различия перед тождеством лежит как в основе структуральной лингвистики, так и подавляющего большинства постструк — туралистских философских конструкций. Превращение инструмента философии в её предмет становится возможным потому, что язык начинает мыслиться не как нечто привходящее – некая прозрачная субстан — ция или эпифеномен мышления, а как фун — даментальная онтологическая структура, обращение к которой открывает доступ к таким аспектам бытия, которые раньше были недосягаемы для философской реф — лексии. В качестве одного из таких аспектов обнаруживает себя произвольность языко — вого знака, на которую впервые наиболее отчётливо стали указывать Витгенштейн и Соссюр (см.: [3; 6]). Важнейшее следствие данного взгляда на язык и на знак вообще состоит в том, что всякий контроль над ними оказывается своего рода насилием над сущим, поскольку такой контроль всег —

да осуществляется кем-то, а не обнаружи — вается нами в качестве онтологически не- обходимого свойства мира. Однако это ещё вовсе не означает, что всякое тождество (будь то в форме равенства вещи самой себе или в форме некоего предзаданного един — ства смысла/ конечного числа смыслов), од — нажды уличённое в своей онтологической неподлинности, навсегда изгоняется из всех регионов сущего. Напротив, оно прочно обосновывается в той части человеческого сознания, которую Жак Лакан назовёт ре — гистром Воображаемого. Там царит “пол — ный порядок” и конститутивная для этого регистра иллюзия взаимно-однозначного соответствия порядков означающего и оз — начаемого (порядка речи и порядка исти — ны), иллюзия того, что все вещи “по своей природе” имеют те значения, которые они имеют, и что, двигаясь от одних значений к другим, я (хотя бы в принципе) способен достичь истины Реального.

Ален Бадью в своём фундаментальном труде «Бытие и событие» [9], опираясь на аксиоматическую теорию множеств Цер — мелло-Френкеля, пытается формально обосновать приоритет различия над тож — деством. Он утверждает, что математика есть онтология, хоть математикам совсем не обязательно об этом знать – достаточ — но того, что найдутся философы, которые своей работой обеспечат узнанность тех истин о бытии (Бадью называет такую ра — боту философов «подшивкой к бытию»), которые открывают математики, зачастую сами того не подозревая. И одной из таких истин является следующая: бытие есть чи — стая множественность. И более того: Еди- ного не существует. Посмотрим подробнее то, как можно прийти к этому выводу.

Итак, неформально в «наивной» тео — рии множеств Георга Кантора множество определено как «многое, мыслимое как единое»1, тогда как формально всякое мно —

1 Данная словесная формулировка принадлежит фи —

лософу и математику Бертрану Расселу.

жество строится им следующим образом: M = {x : P( x)}, т. е. в одну совокупность мы объединяем все такие объекты, которые

обладают некоторым свойством Р (о кото — рых сказывается нечто присущее им всем, поэтому это сказываемое называется пре — дикатом, или логическим сказуемым). По — нятно, что такая операция есть операция абстрагирования, отвлечения от каких-то других, индивидуальных свойств этих объ — ектов, поскольку в противном случае мы никогда не смогли бы их мыслить как «в некотором отношении» одинаковые (при — надлежащие одному множеству). Вообще говоря, на самом непосредственном уров — не, уровне восприятия, мир действительно является нам как многое, и операция «счё — та за одно» есть Идея, или идеализация. Платон, настаивая на первичности Идеи, тем самым переворачивает всю «наивную» онтологию, строившуюся на очевидности восприятия, и приписывает Идеям наи — высший бытийный статус. Таким образом, идея Единого оказывается уже не просто самой бедной абстракцией, а высшим ро — дом Сущего. На языке же теории множеств мы можем утверждать следующее: сорти — руя вещи по различным совокупностям, мы обращаем наше внимание на то, что свойство «быть множеством» есть так — же логическое сказуемое, и образуемая по данному свойству совокупность вбирает в себя всякое сущее вообще, включая саму себя в качестве элемента, и в этом смысле является Единым. Другими словами, Еди — ное есть множество всех множеств. И в то же время такой объект внутренне проти — воречив.

Чтобы показать это, начнём с некоторых определений:

Определение 1. Множества А и В назы — ваются равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Понятие мощности, таким образом, есть обобщение понятия количества, которое

64 Раздел III. Вопросы истории философии и истории других философских дисциплин

удаётся распространить на бесконечные множества. Действительно, чтобы сравнить число людей в классе с числом стульев, мы можем пересчитать их, а можем попросить каждого занять свой стул. Если в результате не останется ни лишних людей, ни лишних стульев, мы сможем утверждать, что и тех, и других равное количество. Этот вывод ос — новывается на том, что между множеством людей и множеством стульев было установ — лено взаимно-однозначное соответствие (мы уже сталкивались с этой процедурой выше, когда речь шла об изоморфизме – взаимно-однозначном отображении, сохра — няющем операцию).

В случае бесконечных множеств этот способ оказывается единственным внят —

однозначное соответствие, поставив каж — дому элементу из М подмножество, состоя —

щее из этого элемента: a →{a}, b →{b},… .

Покажем, что М и М* неравномощны.

Предположим, что между множествами

М и М* можно установить взаимно-одно —

значное соответствие. При этом каждому

элементу из М будет соответствовать один

и только один элемент из М*. Это значит,

что каждому элементу из М будет соответ —

ствовать некоторое подмножество множе —

ства М:

a b c…

↓ ↓ ↓

ным способом сравнивать бесконечные множества.

Определение 2. Множество называется

{…}

{…}

{…} …

бесконечным, если оно содержит собствен — ное (не совпадающее со всем множеством) подмножество, равномощное всему мно — жеству.

Определение 3. Мощность множества В больше мощности множества А, если мно — жества А и В неравномощны, и В содержит

подмножество В1, равномощное с А.

Теорема 1. Мощность множества всех

подмножеств любого непустого множества

М больше мощности самого множества М.

Доказательство1: Пусть М – произ —

вольное непустое множество. Рассмотрим

множество М*, состоящее из всех под —

множеств множества М. Если М содержит

элементы a, b, c, d…, то М* будет содержать

элементы вида {a},{b},{c},…,{a, b},{a, c},{b, c},…

,{a, b,c},{a, b,d}…. и. т. д. Обозначим через М1 множество всех одноэлементных подмно — жеств:

М1 ={{a},{b},{c},{d},…}.

Очевидно, что M1 ⊂ M * , поскольку между М и М1 можно установить взаимно —

1 Доказательства приводятся по: [5].

В верхней строке мы расположили все эле —

менты из М, а в нижней – все подмножества

М, т. е. все элементы из М*. При этом для

каждого элемента множества М возможны

два случая: этот элемент либо содержится в

поставленном ему в соответствие подмно —

жестве (назовём такой элемент включён —

ным), либо не содержится (такой элемент

назовём невключённым). Поскольку по

предположению в нижней строке располо —

жены все подмножества М, то там находит —

ся и пустое множество. Соответствующий

ему элемент будет невключённым (обозна —

чим его через n). В той же строке находит —

ся и все множество М, и соответствующий

ему элемент (обозначим его через m) будет

включённым. Внесём в нашу схему соот —

ветствующие дополнения:

a

b

c

n

m

{…}

{…}

{…}

M

Рассмотрим теперь множество S, со — стоящее из всех невключённых элементов.

Очевидно, что S непусто, так как n ∈ S.

Раздел III. Вопросы истории философии и истории других философских дисциплин 65

Множество S ⊂ M, причём S не совпадает

с М, так как в М есть элемент m, который

не входит в S. Поскольку S – подмножество

множества М, то оно поставлено в соответ —

ствие некоторому элементу р из М. Пусть

р – включённый элемент. Тогда он по опре —

делению лежит в S, но это невозможно, так

как S состоит только из невключённых эле —

ментов. Пусть р – невключённый элемент.

Тогда он не лежит в S, что также невозмож —

но, поскольку в S лежат все невключённые

элементы! Таким образом, наше предпо —

ложение о том, что М и М* равномощны,

неверно.

Тем самым, мы показали, что множе —

ства М и М* неравномощны и множество

М* содержит подмножество, равномощное

с М. Следовательно, мощность множества

М* больше мощности множества М.

Теорема 2 (антиномия Кантора). Не су —

ществует множества всех множеств.

Доказательство: Предположим, что U –

множество всех множеств, и U* – множе —

ство всех подмножеств U. Тогда (по только

что доказанной Теореме 1) U* имеет мощ —

ность большую, чем U, что невозможно,

так как U по предположению содержит все

(!) множества [5].

Таким образом, эйдос Единого не удаёт —

ся непротиворечиво помыслить не только

в самом платонизме, но и в математике, которую так горячо отстаивал сам Платон. То, что при попытках непротиворечиво помыслить Единое, мы неизбежно стал — киваемся со значительными трудностями, Платон показал в своём диалоге «Парме- нид». Однако только существенным обра — зом разработанный язык теории множеств позволяет определить на нём Единое как множество всех множеств и строго фор- мально доказать его невозможность (не- мыслимость).

Материал взят из: Вестник МГОУ «Философские науки». – №4. — 2012

(Visited 5 times, 1 visits today)